Limsup and Liminf

limsup と liminf の，覚えておくといい不等式

limsup は，右に向けて極限で飛ばしても，生き残っている「Sup」の値，という感じのもの．

$$\limsup_n x_n := \inf_{k} \sup_{n \geq k} x_n = \lim_{k \to \infty} \sup_{n \geq k} x_n$$ $\limsup$ は sup の inf． $$\inf_n x_n \leq \liminf_{n \to \infty} x_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n \leq \sup_n x_n$$